• С последовательностью натуральных чисел 1,2,3...n разрешается проводить следующую операцию: поменять местами числа стоящие через одно( например 1 с 3, 5 с 7).
    Сколько нужно таких операций чтобы получить последовательность n,n-1,n-2...1. Решите задачу для n=5,6,7,23

Ответы 1

  • Замечаем, что перестановки происходят отдельно среди четных чисел и среди нечетных чисел.  Поэтому надо ответить на следующий вопрос: есть k предметов, расставленных в каком-то порядке слева-направо и соответствующим образом занумерованных; меняя местами за одну операцию два соседних предмета, нужно расставить их в том же порядке, но справа-налево. Говоря ученым языком, можно сказать, что сначала у нас не было ни одной инверсии (инверсия - это когда предмет с меньшим номером стоит правее предмета с большим номером), а надо сделать максимальное количество инверсий. Меняя местами соседей, мы каждый раз изменяем количество инверсий на 1. Конечно, нам невыгодно уменьшать количество инверсий, а выгодно - увеличивать. Но в каком порядке производить эту операцию - менять местами соседей - абсолютно непринципиально. Поступим, скажем, так. Поменяем сначала местами первый предмет и второй, затем первый и третий, первый и четвертый, и так далее, наконец, первый и последний. Всё. Первый предмет оказался на нужном месте и больше оттуда никуда сдвигаться не будет. Потребовалось нам для этого, естественно, (k-1) операция. Далее будем передвигать второй предмет до тех пор, пока он не поменяется местами с k-м предметом и  не окажется рядом с первым, но левее первого. На это потребуется (k-2) операции. И так далее. Всего мы насчитаем (k-1)+(k-2)+\ldots +2+1=\frac{(k-1)k}{2} операций.

    Остается подвести итоги. Окончательный ответ зависит от того, каково n - четное оно или нечетное.

    1-й случай: n - четное, n=2m. Это означает, что у нас m четных чисел и m нечетных чисел. Всего операций получится

    \frac{(m-1)m}{2}+\frac{(m-1)m}{2}=(m-1)m=(\frac{n}{2}-1)\frac{n}{2}=\frac{(n-2)n}{4}

    2-й случай. n - нечетное, n=2m+1. Это означает, что у нас m четных чисел и (m+1) нечетных чисел.Всего операций получится

    \frac{(m-1)m}{2}+\frac{m(m+1)}{2}=m^2=\left(\frac{n-1}{2}ight)^2

    Решим задачу для n=5, 6, 7, 23.

    n=5 - нечетное; \left(\frac{5-1}{2}ight)^2=4

    n=6 - четное; \frac{(6-2)\cdot 6}{4}=6

    n=7 - нечетное; \left(\frac{7-1}{2}ight)^2=9

    n=23 - нечетное; \left(\frac{23-1}{2}ight)^2=121  

    • Автор:

      barker
    • 5 лет назад
    • 0
  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Войти через Google

или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years