доказательство неравенств
[tex] \cos( \sin(x) ) > 0 \\ \sin(2 + \cos(x) ) > 0 \\ \cos(\pi + arc \sin(x) ) \leqslant 0[/tex]
​

1)   cos(sin(x) )

Заметим что  :  -π/2<-1<=sinx<=1<π/2

sin x  лежит внутри интервала [-π/2 ;π/2]

Вывод:

тк  сos(x)-четная функция,то    на этом промежутке косинус принимает положительное значение : cos(sin(x) )>0 (0 не  может быть тк |sin(x)|<π/2)

2)   sin( 2+cos(x) )

        -1<=cos(x)<=1

      0<1<=2+cos(x)<=3<π

   sin( 2+cos(x) ) лежит внутри промежутка [0;π]

 Тк   sin(π-x)=x , то  это равносильно : [0;π/2]

Таким образом:   sin( 2+cos(x) )>0  (     0 не может быть 0<2+cosx<π)

3)  сos(π+arcsin(x))

Из формулы приведения:

 cos(π+arcsin(x))=-cos(arcsin(x) )

Заметим что область значений arcsin x ограничена:

   arcsin(x)∈[-π/2;π/2]

 Тогда по тем же рассуждениям что и в  1)

сos(arcsin(x))>=0  (исключением является то что  здесь  возможно равенство  нулю ,тк  arcsin(x)=+-π/2  (x=+-1)  cos(+-π/2)=0 )

-сos(arcsin(x))<=0 → cos(π+arcsin(x))<=0