f(x)=(x²-1)/(x²+1) Найти промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума.

f(x)=(x²-1)/(x²+1)
Найти промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума. Пожалуйста помогите решить...
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  maliktiqw
- 5 лет назад

Ответы 1

$f(x) = \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2}+1}$
Определим производную функции по формуле: $f'\bigg(\dfrac{v}{u} \bigg) = \dfrac{v'u - u'v}{u^{2}}$
$f'(x) = \dfrac{(x^{2} - 1)'(x^{2}+1) - (x^{2}+1)'(x^{2} - 1)}{(x^{2}+1)^{2}} =\\\\= \dfrac{2x(x^{2}+1) - 2x(x^{2} - 1)}{(x^{2}+1)^{2}} = \dfrac{2x(x^{2}+1 - x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{2}} = \dfrac{4x}{(x^{2}+1)^{2}}$
Определим критические точки, приравняв к нулю значение производной:
$\dfrac{4x}{(x^{2}+1)^{2}} = 0$
$D(f'(x)): (x^{2}+1)^{2}eq 0; \ x \in \mathbb{R}$
$4x = 0; \ x = 0$
Определим промежутки возрастания, убывания и точки экстремума (выбираем из каждого промежутка какое-нибудь число и подставляем его в производную, и проверяем её знак):
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ \ \ \ \ \ \ \text{min} \ \ \ \ \ \ + \\------- \circ------> x\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \searrow \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ earrow$
Итак,
1) функция возрастает на промежутке $x \in (0; \ + \infty)$
2) функция убывает на промежутке $x \in (-\infty; \ 0)$
3) $x_{\text{min}} = 0; \ \ \ y_{\text{min}} = -1$
Для нахождения $y_{\text{min}}$ мы подставляем значение $x_{\text{min}}$ в значение функции.
Ответ:
1) функция возрастает на промежутке $x \in (0; \ + \infty)$
2) функция убывает на промежутке $x \in (-\infty; \ 0)$
3) $x_{\text{min}} = 0; \ \ \ y_{\text{min}} = -1$
- Автор:
  schmidt
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ