6/Исследовать функцию построить график y=3x-x³
7/вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=4-x²,y=2-x

6. Исследование функции y = 3x - x³:

a) Найдем точки пересечения с осями координат:

При x = 0, y = 0.

При y = 0, 3x - x³ = 0.

Факторизуем уравнение: x(3 - x²) = 0.

Таким образом, получаем две точки пересечения: (0, 0) и (-√3, 0).

b) Найдем экстремумы функции:

y' = 3 - 3x².

y' = 0 при x = ±1.

При x = -1, y'' = -6 < 0, что указывает на локальный максимум.

При x = 1, y'' = 6 > 0, что указывает на локальный минимум.

c) Исследуем поведение функции в окрестности точек пересечения и экстремумов, а также при x → ±∞:

При x → ±∞, y → -∞, что означает, что график стремится к бесконечности в отрицательном направлении.

График функции проходит через точки пересечения и экстремумы, и меняет свой характер в зависимости от значения x.

d) Построим график функции:

^ | | | | . | . | . -------------------------->

7. Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями y = 4 - x² и y = 2 - x:

Для вычисления площади фигуры между двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и интегрировать разность между ними.

a) Найдем точки пересечения:

4 - x² = 2 - x.

x² - x - 2 = 0.

Факторизуем уравнение: (x - 2)(x + 1) = 0.

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 2 и x = -1.

b) Вычислим площадь фигуры, используя определенный интеграл:

Площадь = ∫a, b (f(x) - g(x)) dx,

где f(x) - верхняя функция, g(x) - нижняя функция, a и b - точки пересечения.

В данном случае, верхняя функция - y = 4 - x², нижняя функция - y = 2 - x.

Площадь = ∫-1, 2 ((4 - x²) - (2 - x)) dx

       = ∫-1, 2 (2 + x - x²) dx.

Вычислим этот определенный интеграл:

Площадь = 2x + (x²/2) - (x³/3)|-1, 2

       = 4 + 2 - (8/3) - (-2 - (1/2) - (1/3))

       = 6 - (8/3) + (6/6) - (1/2) - (1/3)

       = (18/6) - (8/3) - (3/6) - (3/6)

       = 3 - (8/3) - (1/2)

       = 9/2 - 8/3

       = (27/6) - (16/6)

       = 11/6.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4 - x² и y = 2 - x, равна 11/6 или около 1.833.