Помогите решить дифференциальное уравнение высших порядков, используя метод понижения - №32579050

Помогите решить дифференциальное уравнение высших порядков, используя метод понижения степени. Зарание спасибо.

x^5*y'''+x^4*y''=1
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  paytonholland
- 5 лет назад

Ответы 1

Понизим порядок степени заменой $y''=z;~~~ y'''=z'$ , получим:
$x^5z'+x^4z=1~~|:x^5~~~~~\Longleftrightarrow~~~ z'+\dfrac{z}{x}=\dfrac{1}{x^5}$
Домножим левую и правую части уравнения на множитель:
$\mu (x)=e^{\int\frac{dx}{x}}=e^{\ln x}=x$ , получим
$xz'+z=\dfrac{1}{x^4}\\ \\ (zx)'=\dfrac{1}{x^4}\\ \\ xz=\displaystyle \int \dfrac{dx}{x^4}=-\dfrac{1}{3x^3}+C_1\\ \\ z=-\dfrac{1}{3x^4}+\dfrac{C_1}{x}$
Возвращаемся к обратной замене:
$y''=-\dfrac{1}{3x^4}+\dfrac{C_1}{x}\\ \\ y'=\displaystyle \int\left(-\dfrac{1}{3x^4}+\dfrac{C_1}{x}ight)dx=\dfrac{1}{9x^3}+C_1\ln|x|+C_2\\ \\ y=\int \left(\dfrac{1}{9x^3}+C_1\ln|x|+C_2ight)dx=-\dfrac{1}{18x^2}+C_1x\left(\ln |x|-1ight)+C_2x+C_3$
P.S. интеграл ln|x| посчитаете сами по частям.
- Автор:
  jordynlyj7
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years