Найдите все значения параметра а, при которых система [tex]\left \{ {{(3-2\sqrt{2})^y+(3+2\sqrt{2})^y-3a=x^2+6x+5, } \atop {y^2-(a^2-5a+6)x^2=0,}}\atop {-6\leq x\leq 0 }} ight.[/tex] имеет единственное решение.

Найдите все значения параметра а, при которых система
[tex]\left \{ {{(3-2\sqrt{2})^y+(3+2\sqrt{2})^y-3a=x^2+6x+5, } \atop {y^2-(a^2-5a+6)x^2=0,}}\atop {-6\leq x\leq 0 }} ight.[/tex]
имеет единственное решение.
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  natalia61
- 5 лет назад

Ответы 6

a + 1/a >= 2
- Автор:
  chewylgjq
- 5 лет назад
- 0
Я, как всегда, люблю усложнять себе жизнь: решил идти через производную. Про Коши часто забываю.
- Автор:
  hawkf1mv
- 5 лет назад
- 0
так в левой части сумма взаимно - обратных чисел , поэтому и начало решения можно упростить
- Автор:
  jessica
- 5 лет назад
- 0
А, тем более.
- Автор:
  katrina14
- 5 лет назад
- 0
все так , но сложновато , геометрия ваша мне больше понравилась
- Автор:
  mae
- 5 лет назад
- 0
Заметим, что если пара (x₀, y₀) – решение системы, то и пара (x₀, -y₀) также является решением системы. Доказывается это подстановкой -y вместо y в уравнения:
В первом уравнении рассмотрим только первые две скобки:
$(3-2\sqrt{2})^{-y}+(3+2\sqrt{2})^{-y}=\frac{1}{(3-2\sqrt{2})^{y}}+\frac{1}{(3+2\sqrt{2})^{y}}=\frac{(3+2\sqrt{2})^{y}}{(3-2\sqrt{2})^{y}(3+2\sqrt{2})^{y}}+\\+\frac{(3-2\sqrt{2})^{y}}{(3+2\sqrt{2})^{y}(3-2\sqrt{2})^{y}}=\frac{(3+2\sqrt{2})^{y}}{(3^2-(2\sqrt{2})^2)^y}+\frac{(3-2\sqrt{2})^{y}}{(3^2-(2\sqrt{2})^2)^y}=\frac{(3+2\sqrt{2})^{y}}{1^y}+\frac{(3-2\sqrt{2})^{y}}{1^y}=\\=(3+2\sqrt{2})^y+(3-2\sqrt{2})^y$
После замены y на -y сумма не изменилась, значит, уравнение осталось тоже неизменным.
Во втором уравнении при подстановке -y минус «съедается» квадратом, поэтому уравнение также остаётся неизменным.
Исходя из этого единственным решение бывает тогда, когда y = -y, то есть y = 0. Получаем такую систему:
$\begin{equation*}\begin{cases}2-3a=x^2+6x+5,\\(a^2-5a+6)x^2=0,\\-6\leq x\leq 0\end{cases}\end{equation*}$
Рассмотрим функцию $f(x)=x^2+6x+5$ на промежутке -6 ≤ x ≤ 0. Вершина этой параболы находится в точке с абсциссой -3, ось симметрии ровно посередине заданного промежутка. Значит, при x = -3 парабола принимает ровно одно значение, а при всех остальных заданных x – ровно два. Отсюда единственность решения достигается:
1) x = -3 (единственное решение первого уравнения), причём $a^2-5a+6=0$ , иначе не будет решений второго уравнения;
2) x = 0 (единственное решение второго уравнения).
Случай, когда первое уравнение имеет два решения, а второе – только одно из них, не достигается.
Случай 1 (x = -3):
$2-3a=(-3)^2+6*(-3)+5 \Leftrightarrow 2-3a=-4 \Leftrightarrow a=2$
При таком a $2^2-5*2+6=0$ - верно, значение подходит.
Случай 2: (x = 0):
$2-3a=0^2+6*0+5 \Leftrightarrow 2-3a=5 \Leftrightarrow a=-1$ .
Проверка значений параметра на посторонние решения:
При a = 2 из второго уравнения следует, что y = 0, тогда из первого следует, что $x^2+6x+5=-4$ , это уравнение также имеет единственное решение.
При a = -1 первое уравнение имеет вид $(3-2\sqrt{2})^y+(3+2\sqrt{2})^y=x^2+6x+2$ . Рассмотрим функции $f(x)=(3-2\sqrt{2})^x+(3+2\sqrt{2})^x$ и $g(x)=x^2+6x+2, -6\leq x\leq 0$ .
$f'(x)=((3-2\sqrt{2})^x+(3+2\sqrt{2})^x)'=((3-2\sqrt{2})^x)'+((3+2\sqrt{2})^x)'=\\=(3-2\sqrt{2})^x\ln{(3-2\sqrt{2})}+(3+2\sqrt{2})^x\ln{(3+2\sqrt{2})}=\\=(3+2\sqrt{2})^x\ln{(3+2\sqrt{2})}-(3-2\sqrt{2})^x\ln{(3+2\sqrt{2})}=\\=\ln{(3+2\sqrt{2})}((3+2\sqrt{2})^x-(3-2\sqrt{2})^x)$
Нули производной:
$\ln{(3+2\sqrt{2})}((3+2\sqrt{2})^x-(3-2\sqrt{2})^x)=0\\(3+2\sqrt{2})^x=(3-2\sqrt{2})^x\\x=0$
Функция убывает при x ≤ 0 и возрастает при x ≥ 0. Значит, x = 0 – точка глобального минимума. Минимальное значение функции f(0) = 2. Значит, E(f) = [2; +∞).
g(x) – парабола. При заданных ограничениях E(g) = [-4; 2]. Значит, решение первого уравнения существует, если:
$\left \{ {{f(y)=2} \atop {g(x)=2}} ight. \left \{ {{y=0} \atop {x=-6; 0}} ight.$
Вид второго уравнения при a = -1: $y^2=12x^2$ . Пара решений (-6; 0) не является его решением. Пара (0; 0) является его решением. Значит, система имеет единственное решение.
Ответ: -1; 2
- Автор:
  gams
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ