Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функций y=x^3+9x^2+10
Пожалуйста с объяснением ​

Ответ:

(-∞ ;-3) => функция выпукла;

(-3; +∞) => функция вогнута;

(-∞ ;-6) <=> f'(x) > 0 => функция возрастает;

(-6; 0) <=> f'(x) < 0 => функция убывает;

(0; +∞) <=> f'(x) > 0 => функция возрастает ;

Объяснение:

1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.  

f'(x) = 3x2+18x  

или  

f'(x)=3x(x+6)  

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю  

x(x+6) = 0  

Откуда:  

x1 = 0  

x2 = -6

(-∞ ;-6) <=> f'(x) > 0 => функция возрастает;

(-6; 0) <=> f'(x) < 0 => функция убывает;

(0; +∞) <=> f'(x) > 0 => функция возрастает ;

В окрестности точки x = -6 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -6 - точка максимума. В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 - точка минимума.  

2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.  

f''(x) = 6x+18  

Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.  

6x+18 = 0  

Откуда точки перегиба:  

x1 = -3

(-∞ ;-3) => функция выпукла;

(-3; +∞) => функция вогнута;