Найдите значения параметра a , для которых уравнение 2|х + 3| - 2|х - 2| + |х - 4| = х + 2а имеет ровно два решения

Заметим, что левая часть уравнения может принимать только четыре различных значения в зависимости от того, в какой области определения находится переменная х:

1. При х < -3 обе справа стоящие положительные величины в модулях имеют отрицательные аргументы, поэтому |х + 3| = -(х + 3), |х - 2| = -(х - 2), |х - 4| = -(х - 4). Подставляя это в левую часть уравнения, получаем:

2(-х - 3) - 2(-х + 2) - (х - 4) = х + 2а

-2х - 6 + 2х - 4 - х + 4 = х + 2а

-х - 2 = х + 2а

2а = -2х - 2

а = -х - 1

2. При -3 ≤ х < 2 модуль |х + 3| имеет положительный аргумент, поэтому он равен х + 3. Модули |х - 2| и |х - 4| имеют отрицательные аргументы, поэтому они равны -(х - 2) и -(х - 4) соответственно. Подставляя это в левую часть уравнения, получаем:

2(х + 3) - 2(-х + 2) - (х - 4) = х + 2а

2х + 6 + 2х - 4 - х + 4 = х + 2а

3х + 6 = х + 2а

2а = -2х - 6

а = -х - 3

3. При 2 ≤ х ≤ 4 модули |х + 3| и |х - 2| имеют положительные аргументы, поэтому они равны соответственно х + 3 и х - 2. Модуль |х - 4| имеет отрицательный аргумент, поэтому он равен -(х - 4). Подставляя это в левую часть уравнения, получаем:

2(х + 3) - 2(х - 2) - (-(х - 4)) = х + 2а

2х + 6 - 2х + 4 + (х - 4) = х + 2а

х + 6 = х + 2а

2а = -6

а = -3

4. При х > 4 все три модуля имеют положительные аргументы и равны соответственно х + 3, х - 2 и х - 4. Подставляя это в левую часть уравнения, получаем:

2(х + 3) - 2(х - 2) - (х - 4) = х + 2а

2х + 6 - 2х + 4 - х + 4 = х + 2а

9 = х + 2а

2а = -х + 9

а = -(х/2) + 9/2

Таким образом, уравнение имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда параметр а принимает значения -х - 1, -х - 3 или -3 для соответствующих областей определения переменной х.