Решить дифференциальные уравнения
y'-y-3(x^2)*y=0 , y(1)=e^2
xdy=ydx , y(4)=2
y'=1/x , y(1)=1
y'+x^2=0 , y(2)=3

1. Решение дифференциального уравнения y' - y - 3x^2y = 0:

Уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Его общее решение можно найти методом вариации постоянной.

Характеристическое уравнение:

r - 1 - 3x^2 = 0

r = 1 + 3x^2

Общее решение однородного уравнения:

yh = c * exp(-∫(1+3x^2)dx) = c * exp(x - x^3)

Частное решение неоднородного уравнения:

yp = A x^2 + B x + C

Подставляем yp и y'p в исходное уравнение:

y'p - yp - 3x^2 y_p = 0

2Ax + B - (Ax^2 + Bx + C) - 3x^2(Ax^2 + Bx + C) = 0

-2Ax^3 + (6A - B)x^2 + (-3A - 3B + 1)y + B = 0

Система уравнений для нахождения A, B, C:

-2A = 0

6A - B = 0

-3A - 3B + 1 = 0

A = 0, B = 0, C = 1/3

Частное решение: y_p = 1/3

Общее решение уравнения: y = y_h + y_p = c exp(x - x^3) + 1/3

Находим значение по начальному условию:

y(1) = c exp(1 - 1) + 1/3 = e^2

c = (e^2 - 1/3) / e = e - 1/3e

Ответ: y = (e - 1/3e) exp(x - x^3) + 1/3.

2. Решение дифференциального уравнения xdy = ydx:

dy / y = dx / x

∫dy / y = ∫dx / x

ln|y| = ln|x| + C

y = Cx

Находим значение по начальному условию:

y(4) = 2

C = 1/2

Ответ: y = 1/2x.

3. Решение дифференциального уравнения y' + x^2 = 0:

Уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Его общее решение можно найти методом вариации постоянной.

Общее решение однородного уравнения:

yh = c * exp(-∫x^2dx) = c * exp(-x^3 / 3)

Частное решение неоднородного уравнения:

yp = 0

Общее решение уравнения: y = yh + yp = c exp(-x^3 / 3)

Находим значение по начальному условию:

y(2) = 3

c = 3 / exp(-8/3)

Ответ: y = 3 exp(x^3 / 3 - 8/3).