С помощью производной исследовать функцию и построить график функции: f(x)=x^4-8x^2+1;
х принадлежит (-1;3)

Найдем производную функции f(x):

f'(x) = 4x^3 - 16x

Найдем точки экстремума функции, приравняв производную к нулю:

4x^3 - 16x = 0

4x(x^2 - 4) = 0

Таким образом, имеются три критические точки: x = 0, x = -2, x = 2. Найдем значения функции в этих точках:

f(0) = 1

f(-2) = 33

f(2) = -47

Точка x = 0 является точкой минимума, а точки x = -2 и x = 2 являются точками максимума.

Также найдем значения функции в точках x = -1 и x = 3, чтобы определить, в каких интервалах функция возрастает или убывает:

f(-1) = 10

f(3) = -152

Так как f'(x) > 0 на интервалах (-∞, -2) и (2, +∞), то функция возрастает на этих интервалах. Аналогично, так как f'(x) < 0 на интервалах (-2, 0) и (0, 2), то функция убывает на этих интервалах.

Теперь построим график функции:

!График функции

На графике видно, что функция имеет точки максимума в точках x = -2 и x = 2, точку минимума в точке x = 0, а также пересекает ось OX в точках x = -1 и x = 1. Функция возрастает на интервалах (-∞, -2) и (2, +∞), а убывает на интервалах (-2, 0) и (0, 2).