Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке [-6,0]: f(x)=[tex]x^{3} +3x^{2} -45x-2[/tex]

Производная заданной функции f(x)=x³ + 3x² - 45x - 2 равна:

y' = 3x² + 6x -45 = 3(x² + 2x - 15).

Приравниваем нулю: x² + 2x - 15 = 0.  Д = 4 + 4*15 = 64.

х1 = (-2 + 8)/2 = 3,  х2 = (-2-8)/2 = -5. Это критические точки.

Находим знаки производной на промежутках.

х =   -6        -5        0       3      4

y' =   99       0     -45       0 27

Как видим, в точке х = -5 максимум (локальный),  а в точке х = 3 минимум (за пределами заданного промежутка).

Теперь находим значения функции в критических точках и на границах заданного промежутка.

х =       -6        -5         0

у =      160 173     -2 .

Ответ:

максимум функции у = 173 в точке х = -5, минимум у = -2 при х = 0.