[tex]\int\limits^2_1 {\frac{dx}{\sqrt{x} +1} } \,[/tex] Помогите решить подстановкой

Ответ: ₁∫²(dx/(√x+1)≈0,452.

Объяснение:

₁∫²(dx/(√x+1)

Сначала решим неопределённый интеграл.      ⇒

∫(dx/(√x+1)=∫(1/(√x+1))dx.

Пусть (√x+1)=u   ⇒

du=d(√x+1)=(1/(2*√x))dx    ⇒

dx=2*√x*du   ⇒

∫(1/(√x+1))dx=∫(2*√x/u)du=2*∫(√x/u)du=2*∫((√x+1-1)/u)du=2*∫((u-1)/u)du=

=2*(∫du-∫du/u)=2*u-lnu=2*(√x+1)-2*ln(√x+1)=2*(√x+1-ln(√x+1)).

∫(dx/(√x+1)=2*(√x+1-ln(√x+1)).      ⇒

₁∫²(dx/(√x+1)=2*(√x+1-ln(√x+1))  ₁|²=2*((√2+1-ln(√2+1))-(√1+1-ln(√1+1)))

=2*(√2+1-ln(√2+1)-(2-ln(2))=2*(√2+1-ln(√2+1)-2-+ln(2))=

=2*(√2-1-ln(√2+1)+ln(2))≈0,452.