Как получили такой ответ ?
Менее всего понимаю, как поменялись углы между синусом и косинусом. Сколько не пытался ответ не получается

Вы такой ответ в любом случае получить не можете: либо открывающаяся скобка должна стоять после общего множителя 2v²/g, либо в каждом слагаемом так и остается одинаковый множитель 2v²/g. У вас во второй строчке не наблюдается ни первый, ни второй вариант.Первое слагаемое у вас остается без каких-либо изменений, а содержащиеся во втором слагаемом v² и g вы каким-то дивным образом преобразуете в cosα и sinβ, да аж так, что они [v² и g] и вовсе бесследно исчезают! Ни один математик не поверит в такие чудеса!)