Как интерпретировать детерминант, рассматривая столбы матрицы, как векторы в прямоугольной системе координат?

ну, хоть как индикатор... если определитель квадратной матрицы порядка n отличен от нуля, то ее столбцы образуют базис в линейном пространстве...