площадь прямоугольного треугольника, если известно, что его гипотенуза, равная 13 см, возрастет на 4 см при увеличении каждого катета на 3 см. ​

Пусть а и b - катеты прямоугольного треугольника, тогда по теореме Пифагора

а² + b² = 13², по теореме площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

S∆ = 1/2 • ab.

По условию новые катеты треугольника равны (а+3) см и (b+3) см, новая гипотенуза равна 13+4 = 17(см).

По теореме Пифагора

(а+3)² + (b+3)² = 17².

Запишем систему уравнений:

{а² + b² = 169,

{(а+3)² + (b+3)² = 17²;

{а² + b² = 169,

{а² + 6а + 9 + b² + 6b + 9 = 289;

{а² + b² = 169,

{(а² + b²) + (6а + 6b) + 18 = 289;

{а² + b² = 169,

{169 + 6(а + b) = 289 - 18;

{а² + b² = 169,

{6(а + b) = 271 - 169;

{а² + b² = 169,

{а + b = 102 : 6;

{а² + b² = 169,

{а + b = 17;

Возведём в квадрат обе части второго уравнения:

{а² + b² = 169,

{а² + 2аb + b² = 289;

Вычтем почленно из второго уравнения первое:

(а² + 2аb + b²) - (а² + b²) = 289 - 169

2аb = 120

Разделим обе части равенства на 4, получим:

1/2 • ab = 30

Заметим, что 1/2 • ab = S ∆, тогда

S ∆ = 30 см².