Найти наибольшее из значений, которое принимает выражение х+3у, если х и у удовлетворяют неравенству x ² +xy+4y ² ≤3. 

Обозначим данное выражение через f(x). Тогда видно, что при y+z≠0 f(x) является квадратным трехчленом с параметрами y и z. Поищем его корни.

f(-y)=z(-y2+yz-yz)+y2z=-y2z+y2z=0. По причине симметрии выражения также и

f(-z)=0. Следовательно, f(x) разлагается на множители вида а(х-х1)(х-х2), т.е. f(x)= =(y+z)(x+y)(x+z).

Случай y+z=0 можно и не рассматривать, убедившись непосредственно в истинности тождества (x + y + z)(хy+yz + zx) — xyz = (x+y)(y+z)(z+x).