Найти частное решение уравнения [tex]y'=\frac{tg(x)}{ctg(y)}=0[/tex] если [tex]y(\frac{\pi }{3})=\frac{\pi }{6}[/tex]

Объяснение:

Решим дифференциальное уравнение: tg(y)dx−ctg(x)dy=0

Решение: уравнение вида

dydx=f(x)g(y)

называется уравнением с разделяющимися переменными. Решается методом переноса в разные части уравнения переменных (разделяем переменные), т.е. получаем уравнение

dyf(x)=f(x)dx

Уравнение в задании является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные уравнения

tg(y)dx−ctg(x)dy=0 => tg(y)dx=ctg(x)dy=>

переносим все члены с переменной y в правую часть уравнения, а с x в левую. Нужно помнить, что при делении возможно появление особых решений (например знаменатель равен 0), которые нужно проверять отдельно. Получим

tg(x)dx=ctg(y)dy =>sin(x)cos(x)dx=cos(y)sin(y)dy

интегрируем правую и левую части уравнения

∫ sin(x)cos(x)dx=∫cos(y)sin(y)dy+C =>

интегралы будем находить методом замен перемены переменной ∫ sin(x)cos(x)dx= введем замену cos(x)=t=>−sin(x)dx=dt, получаем ∫ sin(x)cos(x)dx=−∫1tdt=−ln(t)=−ln(cos(x)), аналогично и второй интеграл, получаем

−ln(cos(x))=ln(sin(y))+ln(C)=>ln(sin(y)cos(x)C)=0=>

sin(y)cos(x)C=1=>

sin(y)=1cos(x)C=>y=arcsin(1cos(x)C)=arcsin(C1sec(x))

Ответ: y= arcsin(C1sec(x))