9. 1)(x²+1)-4x² 3) x² + x² + 1 5)x+5x49 10 2) (x² +9)²-36x² 4) x³ + x^²+1 6) x¹-9x² + 16Помогите пожалуйста,решите с решением пж​

Ответ:

Ответ:

а) S = 3(eд²)

b) V = 81π/10(eд³)

Пошаговое объяснение:

Сперво представим функции в удобном виде:

\begin{gathered}1)x {}^{2} = 3y \\\\ y = \frac{x {}^{2} }{3} \\\\ y = \frac{1}{3} x {}^{2} \\\\ 2)y {}^{2} = 3x \\\\ y = \sqrt{3x} \end{gathered}

1)x

2

=3y

y=

3

x

2

y=

3

1

x

2

2)y

2

=3x

y=

3x

Понятно , что 1 график это то что синим цветом.

Найдём точки пересечения графиков этих функций:

\begin{gathered} \displaystyle \sqrt{3x} = \frac{x^2}{3} \\\\ \left (3 \sqrt{3x} \right ) ^2 = \left ( x^2 \right )^2 \\\\ 27x -x^4 =0 \\\\ x\left (27-x^3 \right ) =0 \\\\ x_1=0~~~~~~~~~~~27-x^3=0;x^3=27 \Rightarrow x_2=3\end{gathered}

3x

=

3

x

2

(3

3x

)

2

=(x

2

)

2

27x−x

4

=0

x(27−x

3

)=0

x

1

=0 27−x

3

=0;x

3

=27⇒x

2

=3

а)

Площадь фигуры ограниченной графиками функций вычисляется по формуле Ньютона - Лейбница:

\boxed{ \boldsymbol{S = \int^b_af(x) dx= F(b) -F(a) \bigg |^b_a}}

S=∫

a

b

f(x)dx=F(b)−F(a)

∣

∣

a

b

Где a и b - пределы интегрирования.

В нашем случае графики пересекаются в точке 0 и 3 - это пределы интегрирования . Так как на промежутке от 0 до 3 график 2-ой функции расположен выше , то от него нужно отнять график первой функции.

Находим площадь фигуры:

\begin{gathered}S = \displaystyle \int^3_0\bigg ( \sqrt{3x} - \frac{1}{3} x {}^{2} \bigg ) dx = \displaystyle \int^3_0\bigg ( (3x) {}^{ \frac{1}{2} } - \frac{1}{3} x {}^{2} \bigg ) dx =\\\\= \frac{3 {}^{ \frac{3}{2} } \cdot 2x {}^{ \frac{3}{2} } }{ 3 } - \frac{x {}^{3} }{9} = \frac{2x \sqrt{3x} }{3} - \frac{x {}^{3} }{9} \bigg |^3_0 = \frac{6 \sqrt{9} }{3} - \frac{27}{9} - \bigg(0 - 0 \bigg ) = 6- 3 = 3\left ( ed^2\right )\end{gathered}

S=∫

0

3

(

3x

−

3

1

x

2

)dx=∫

0

3

((3x)

2

1

−

3

1

x

2

)dx=

=

3

3

2

3

⋅2x

2

3

−

9

x

3

=

3

2x

3x

−

9

x

3

∣

∣

0

3

=

3

6

9

−

9

27

−(0−0)=6−3=3(ed

2

)

b)

Объем тела полученная при вращения вокруг оси Ох вычисляется по формуле:

\boxed{ \boldsymbol{V= \pi \int^b_af {}^{2} (x) dx}}

V=π∫

a

b

f

2

(x)dx

Для того , чтобы найти объем тела, ограниченного графиками двух функций, нужно будет от объёма тела ограниченная графиком функции сверху(то есть это красный график) отнять объем тела , ограниченная графиком функции снизу( это синий график).

Пусть V_2V

2

- объем тела, ограниченная функцией сверху , а V_1V

1

- объем тела ограниченная функцией снизу.

Находим V_2V

2

:

\displaystyle V_2= \pi \int^3_0 \left ( \sqrt{3x} \right ) {}^{2} dx = \frac{ \pi \cdot3x {}^{2} }{2} \bigg |^3_0 = \frac{27 \pi}{2}V

2

=π∫

0

3

(

3x

)

2

dx=

2

π⋅3x

2

∣

∣

0

3

=

2

27π

Находим V_1V

1

:

\displaystyle V_1= \pi \int ^ 3_0\left ( \frac{x {}^{2} }{3} \right ) ^{2} dx = \pi\cdot \frac{1}{9} \int^3_0x^4dx=\frac{\pi \cdot x^5}{45} \bigg |^3_0=\frac{\pi \cdot 3^5}{45} =\frac{27\pi}{5}V

1

=π∫

0

3

(

3

x

2

)

2

dx=π⋅

9

1

∫

0

3

x

4

dx=

45

π⋅x

5

∣

∣

0

3

=

45

π⋅3

5

=

5

27π

Следовательно:

\displaystyle V=V_2-V_1=\frac{27\pi }{2} -\frac{27\pi }{5} =\frac{135\pi -54\pi }{10} =\frac{81\pi}{10}\left ( ed ^3\right )V=V

2

−V

1

=

2

27π

−

5

27π

=

10

135π−54π

=

10

81π

(ed

3

)