Исследуйте функцию и постройте ее график f( x ) = 1+x3-x^3

Решение: f(x)=x³/(1-x²) 1) Область определения: D(y) (-∞;-1) (-1;1) (1;∞) 2) Множество значений: E(y) (-∞;∞) 3) проверим, является ли функция четной или нечетной: у (x)=x³/(1-x²) y(-x)=(-x)³/(1-(-x)²)=- x³/(1-x²) Так как у (-х) =-у (х) , то функция не четная. 4) Найдем нули функции: у=0; x³/(1-x²)=0 x³=0 x=0 График пересекает оси координат в точке (0;0) 5) Найдем точки экстремума и промежутки возрастаний и убывания: y'=(3x²(1-x²)+2x*x³)/(1-x²)²=(3x²-x^4)/(1-x²)² 3x²-x^4=0 x²(3-x²)=0 x²=0 x1=0 3-x²=0 x2=√3 x3=-√3 Так как на промежутках (-∞;-√3) и (√3;∞) y'< 0, то на этих промежутках функция убывает. Так как на промежутках (-√3;-1) (-1;0) (0;1) и (1;√3) y'> 0, то на этих промежутках функция возрастатет. Так как при переходе через точку х=-√3 производная меняет свой знак с - на + то в этой точке функция имеет минимум: у (√3 )=-3√3/(1-3)=1.5√3 Так как при переходе через точку х=√3 производная меняет свой знак с + на - то в этой точке функция имеет максимум: у (√3)=3√3/(1-2)=-1.5√3 В точке х=0 функция экстремума не имеет 6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегида: y"=((3x-4x²)*(1-x²)²+2x(1-x²)(3x²-x^4))/(1-x²)^4=(6x^5-4x³+6x)/(1-x²)³; y"=0 (6x^5-4x³+6x)/(1-x²)³=0 6x^5-4x³+6x x(6x^4-4x²+6)=0 x1=0 6x^4-4x²+6=0 уравнение не имеет корней Так как на промежутках (-1;0) и (1;∞) y"< 0, то на этих промежутках график функции направлен выпуклостью вверх Так как на промежутках (-∞;-1) (0;1) y"> 0, то на этих промежутках график функции направлен выпкулостью вниз. Точка х=0; являются точкой перегиба. 7) Проверим имеет ли данная функция асимптоты: Так как финкция имеет точки разрыва, то найдем односторонние пределы в этих точках: lim (при х->-1-0) (x³/(1-x²)=+ ∞ lim (при х->-1+0) (x³/(1-x²)=- ∞ lim (при х->1-0) (x³/(1-x²)=+ ∞ lim (при х->-1+0) (x³/(1-x²)=-∞ Так как односторонние пределы бесконечны, то прямые х=-1 и х=1 являются вертикальными асимптотами Наклонные асимптоты вида y=kx+b k=lim (при х->∞) f(x)/x=lim (при х->∞) (x³/(x-x³)=-1 b= lim (при х->∞) (f(x)-kx)=lim (при х->∞) (x³/(1-x²)+x)=0 Итак прямая у=-х является наклонной асимптотойх3 – 3х + 2 = 0, (х – 1)2 (х + 2) = 0. х = 1, х = -2. (1;0) и (-2;0) – точки пересечения с осью х. С осью у: (0;2). Асимптот нет. Точек разрыва нет. f (-x) = - х3 + 3х + 2 функция общего вида.