Решение триганометрических уравнений. 10 класс.

Решим уравнение 2cos²(x/2) + cos(x) = 0. Заметим, что левая часть равна: 2cos²(x/2) + cos(x) = 2(1-sin²(x/2)) + cos(x) = 2 - 2sin²(x/2) + cos(x) Затем заметим, что угол x/2 является половиной угла x, так что мы можем преобразовать уравнение следующим образом: 2 - 2sin²(x/2) + cos(x) = 2 - 2(1-cos²(x/2)) + cos(x) = 2cos²(x/2) + cos(x) - 2 Таким образом, исходное уравнение может быть переписано в виде: 2cos²(x/2) + cos(x) - 2 = 0 Теперь мы можем использовать подстановку y = cos(x/2)², чтобы получить квадратное уравнение: 2y + 2√(1-y) - 2 = 0 y + √(1-y) - 1 = 0 Решая это квадратное уравнение относительно y, мы получаем: y = cos²(x/2) = (1 - √5) / 2 Так как cos²(x/2) не может быть отрицательным, мы можем использовать только положительное значение корня: cos(x/2) = √[(1 - √5) / 2] Чтобы решить уравнение для x, нам нужно рассмотреть все возможные значения arccos(√[(1 - √5) / 2]): x/2 = ±arccos(√[(1 - √5) / 2]) + 2πk где k - любое целое число. Теперь мы можем решить для x: x = ±2arccos(√[(1 - √5) / 2]) + 4πk Таким образом, решениями исходного уравнения являются: x = 2arccos(√[(1 - √5) / 2]) + 4πk или x = -2arccos(√[(1 - √5) / 2]) + 4πk, где k - любое целое число.

Ответ