Заданы две функции от параметра а. x⁴-аxy²-1=0 y⁴-ax²y-1=0 При любом значении параметра а, пересечение функций образовывает четырехугольник, который состоит из кривых. Найдите площадь такого четырехугольника в зависимости от параметра а.

Відповідь:Для начала найдём точки пересечения кривых. Для этого мы можем использовать методы решения систем нелинейных уравнений, например метод Ньютона.

Определим функции F(x,y,a) и G(x,y,a), соответствующие уравнениям x⁴-аxy²-1=0 и y⁴-ax²y-1=0 соответственно. Тогда мы можем записать систему уравнений:

F(x,y,a) = x⁴-аxy²-1 = 0

G(x,y,a) = y⁴-ax²y-1 = 0

Выразим из первого уравнения x⁴ в зависимости от a и y:

x⁴ = аxy² + 1

Подставим это выражение во второе уравнение и получим уравнение только относительно y:

y⁴ - a(аxy² + 1) y - 1 = 0

Это уравнение можно решить методом Ньютона. Пусть (x₀, y₀) — начальное приближение для решения уравнения. Тогда итерационная формула метода Ньютона имеет вид:

y_{n+1} = y_n - F(y_n)/F'(y_n)

где F(y) = y⁴ - a(аx₀y² + 1) y - 1, F'(y) — производная F(y) по y. Аналогично для нахождения x_{n+1} используется формула:

x_{n+1} = x₀/y₀ * sqrt(аy₀² + 1)

После нахождения точки пересечения (x,y) мы можем найти оставшиеся точки четырёхугольника симметрично относительно осей координат.

Найденные точки можно обозначить как (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃) и (x₄,y₄). По формуле площади четырёхугольника, составленного из этих точек, площадь S будет равна:

S = 1/2 * |x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁ - x₂y₁ - x₃y₂ - x₄y₃ - x₁y₄|

Таким образом, мы можем вычислить площадь четырёхугольника для любого значения параметра a.