БУДЬ ЛАСКА ДУЖЕ ТРЕБА Обчисліть значення виразу: cos2pi/31cos4pi/31cos8pi/31cos16pi/31cos32pi/31

Ответ:

Застосуємо формулу для добутку косинусів з різними аргументами:

cos(a)cos(b) = 1/2[cos(a-b) + cos(a+b)]

Для початку обчислимо наступні вирази:

cos(2pi/31)cos(4pi/31) = 1/2[cos(-2pi/31) + cos(6pi/31)] = 1/2[cos(2pi/31) + cos(6pi/31)]

cos(8pi/31)cos(16pi/31) = 1/2[cos(-8pi/31) + cos(24pi/31)] = 1/2[cos(8pi/31) + cos(7pi/31)]

Замінимо вихідний вираз з добутком косинусів на добуток наших проміжних виразів та двох доданків за формулою:

cos(2pi/31)cos(4pi/31)cos(8pi/31)cos(16pi/31)cos(32pi/31) =

= 1/2[cos(2pi/31) + cos(6pi/31)][cos(8pi/31) + cos(7pi/31)]cos(32pi/31) =

= 1/2[cos(2pi/31) + cos(6pi/31)][cos(8pi/31) + cos(7pi/31)][cos(31pi/31) + cos(pi/31)] =

= 1/2[cos(2pi/31) + cos(6pi/31)][cos(8pi/31) + cos(7pi/31)][-1 + cos(pi/31)] =

= -1/2[cos(2pi/31) + cos(6pi/31)][cos(8pi/31) + cos(7pi/31)][1 - cos(pi/31)] =

= -1/2[cos(2pi/31)cos(8pi/31)cos(7pi/31)cos(6pi/31)][1 - cos(pi/31)]

Тепер застосуємо ту саму формулу для обчислення добутку косинусів:

cos(2pi/31)cos(8pi/31)cos(7pi/31)cos(6pi/31) =

= 1/2[cos(-6pi/31) + cos(10pi/31)][cos(-3pi/31) + cos(9pi/31)] =

= 1/2[cos(25pi/31) + cos(21pi/31)][cos(28pi/31) + cos(2pi/31)] =

= 1/2[(cos(25pi/31)cos(28pi/31) + cos(25pi/31)cos(2pi/31)) + (cos(21pi/31)cos(28pi/31) + cos(21pi/31)cos(2pi/31))]

Значення косинуса на вигляді cos(kpi/31) можна отримати з косинуса при k = 1, 2, ...,