Уровень в 727. Вычислите значение функции: - a) f(x) = sin 4x + cos 4x, если ctg 2x - 1 П 2' 8 б) f(x) = a sin 2x + b cos 2x, если tg x = a/b​

a) За тригонометричними тотожностями, sin 4x + cos 4x = sqrt(2) * sin (4x + 45°). Тоді, щоб обчислити f(x), нам потрібно знайти значення sin (4x + 45°).

За тотожністю sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β:

sin (4x + 45°) = sin 4x cos 45° + cos 4x sin 45°

Так як cos 45° = sin 45° = 1 / sqrt(2), то:

sin (4x + 45°) = (sin 4x + cos 4x) / sqrt(2) = f(x) / sqrt(2)

Отже, f(x) = sqrt(2) * sin (4x + 45°)

Тепер нам потрібно знайти значення ctg 2x. За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику з гіпотенузою 1 і катетами cos 2x та sin 2x:

(ctg 2x)² = (cos 2x / sin 2x)² = (1 / sin² 2x) - 1

З огляду на те, що ctg 2x - 1 П 2' 8, ми можемо записати:

(ctg 2x)² = (1 / sin² 2x) - 1 > 8² = 64

Отже, (ctg 2x)² > 64, тоді ctg 2x > 8 або ctg 2x < -8. Проте ctg 2x не може бути більше 8 або менше -8, оскільки ctg 2x є гіперболічною функцією, яка набуває всіх дійсних значень окрім 0. Тому вірної відповіді на це завдання немає.

b) За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику з гіпотенузою 1 і катетами a та b:

tg x = a/b = sin x / cos x

Звідси cos x = sqrt(a² + b²), а sin x = (a / sqrt(a² + b²)) * tg x

Таким чином,

f(x) = a sin 2x + b cos 2x = a * 2 sin x cos x + b * (cos² x - sin² x)

= a * 2(a / sqrt(a² + b²)) * (sqrt(a² + b²) / (a² + b²)) * tg x

+ b * ((a² + b²) / (a² + b²) * cos² x - (a² / (a² + b²)) * sin² x)