Срочно!докажите тождество:(√tga+√ctga/sina+cosa)^2 = 2/sin2a​

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулой тангенса суммы:

tg(a + b) = (tg a + tg b) / (1 - tg a * tg b)

Заметим, что:

tg a = √tga / sina

tg b = √ctga / cosa

Тогда:

tg(a + b) = (√tga/sina + √ctga/cosa) / (1 - (√tga/sina * √ctga/cosa))

tg(a + b) = (√tga + √ctga * sina/cosa) / (cosa√tga + sina√ctga)

Также заметим, что:

sin2a = 2sina * cosa

Тогда:

(√tga + √ctga/sina + cosa)^2 = (√tga + √ctga * sina/cosa)^2 / sin2a

(√tga + √ctga/sina + cosa)^2 = (√tga + √ctga * sina/cosa)^2 * (1/2sina * cosa)

(√tga + √ctga/sina + cosa)^2 = (√tga + √ctga * sina/cosa)^2 * (1/2√tga * √ctga)

Раскроем квадрат:

(√tga + √ctga/sina + cosa)^2 = (√tga)^2 + 2√tga * √ctga * sina/cosa + (√ctga)^2 * (sina/cosa)^2 + 2√tga * cosa + 2√ctga * sina/cosa + (cosa)^2

(√tga + √ctga/sina + cosa)^2 = tga + 2√tga * √ctga * sina/cosa + ctga * (sina/cosa)^2 + 2√tga * cosa + 2√ctga * sina/cosa + cosa^2

Подставим выражение для tg(a + b):

(√tga + √ctga/sina + cosa)^2 = tga + 2tg(a + b) * √tga * √ctga + ctga * tg^2(b) + 2√tga * cosa + 2√ctga * sina/cosa + cosa^2

(√tga + √ctga/sina + cosa)^2 = tga + 2tg(a + b) * √tga * √ctga + ctga * (ctga/sina)^2 + 2√tga * cosa + 2√ctga * sina/cosa + cosa^2

Подставим выражение для tg(a + b) и упростим выражение:

(√tga + √ctga/sina + cosa)^2 = 2√tga * √ctga / sin2a

(√tga + √ctga/sina + cosa)^2 = 2/sin2a * tga * ctga

(√tga + √ctga/sina + cosa)^2 = 2/sin2a * √tga * √ctga * sin2a

(√tga + √ct