Сума перших членів геометричної прогресії дорівнює 168, а сума наступних трьох дорівнює 21. Знайдіть суму перших п'яти членів прогресії. S5=

Для розв'язання задачі ми можемо скористатися формулою для суми n перших членів геометричної прогресії:

Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q),

де Sn - сума n перших членів прогресії, a1 - перший член прогресії, q - знаменник прогресії.

Позначимо перший член прогресії як a, а знаменник як q. Тоді:

а + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 = 168, (1)

aq^5 + aq^6 + aq^7 = 21. (2)

Можемо помножити обидві частини (1) на q, отримаємо:

aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + aq^5 = 168q. (3)

Після цього можемо відняти (2) від (3):

a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 = 168q - (aq^5 + aq^6 + aq^7) = 168q - aq^5 * (1 + q + q^2),

або

a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + aq^5 * (1 + q + q^2) = 168q. (4)

Тепер можемо виразити суму перших п'яти членів прогресії, використовуючи формулу для Sn:

S5 = a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 = 168q/(1 + q + q^2).

Залишається знайти значення q, щоб визначити S5. Для цього можемо скористатися другим рівнянням (2), з якого можна виразити aq^5:

aq^5 = (21 - aq^6 - aq^7),

і підставити в рівняння (1):

a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + (21 - aq^6 - aq^7) = 168,

або

aq^7 + aq^6 + aq^5 - aq^4 - aq^3 - aq^2 - aq + 147 = 0.

Це рівняння має розв'язок q = 2. Підставляючи це значення q у формулу для S5, маємо:

S5 = 336/7 = 48.

Отже, сума перших п'яти членів прогресії дорівнює 48.