4. Сумма кубов двух положительных последовательных чисел равна 189, а сумма утроенного произведения квадрата первого последовательного числа на второе последовательное число и утроенного произведения первого последовательного числа на квадрат второго последовательного числа равна 540. Найдите эти числа.​

Відповідь:

Пояснення:

Назвемо перше послідовне число "x", тоді друге послідовне число буде "x+1".

За умовою задачі це відомо:

x^3 + (x+1)^3 = 189

Розкладаючи ліву частину рівняння, отримуємо:

x^3 + (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = 189

Спрощуючи, отримуємо:

2x^3 + 3x^2 + 3x - 188 = 0

Тепер подивимось на другу частину умови задачі:

3x^2(x+1) + 3x(x+1)^2 = 540

Розгорнувши ліву частину рівняння, отримаємо:

3x^3 + 9x^2 + 6x = 540

Спрощуючи, отримаємо:

x^3 + 3x^2 + 2x - 180 = 0

Тепер ми маємо два рівняння з двома невідомими, тому можемо використати метод підстановки для знаходження x:

З першого рівняння ми можемо знайти x^3 через x:

x^3 = 189 - (x+1)^3

Підставивши це у друге рівняння, отримаємо:

(189 - (x+1)^3) + 3x^2 + 2x - 180 = 0

Спрощуючи, отримуємо:

-x^3 + 3x^2 + 2x + 9 = 0

Тепер ми можемо знайти x за допомогою чисельного методу, наприклад, Ньютона-Рафсона або методу бісектриси. Однак, ми також можемо зробити обґрунтоване припущення, помітивши, що розв'язок має бути між 5 і 6 (оскільки куб будь-якого числа, більшого за 6, більший за 189). Перебираючи значення в цьому діапазоні, ми знаходимо, що x = 5 є розв'язком.

Отже, два числа, що йдуть підряд, - це 5 і 6.