Доведіть тотожності/докажите тождества: tga/tga+ctga=sin^2 a \frac{tga}{tga+ctga}=sin^{2} a

Ответ:

Почнемо з лівої сторони тотожності:

\frac{tga}{tga+ctga}

Можемо записати ctga як 1/tg a, отже:

\frac{tga}{tga+\frac{1}{tg a}}

Складаємо знаменник за допомогою спільного знаменника:

\frac{tga \cdot tg a}{tga \cdot tg a +1}

Застосуємо тригонометричну тотожність:

tg^{2} a + 1 = \frac{1}{cos^{2} a}

Тоді можемо переписати чисельник так:

tga \cdot tg a = \frac{sin^{2} a}{cos^{2} a}

Підставимо це в остаточний вираз:

\frac{tga \cdot tg a}{tga \cdot tg a +1} = \frac{\frac{sin^{2} a}{cos^{2} a}}{\frac{sin^{2} a}{cos^{2} a} + 1}

Складаємо знаменник за допомогою спільного знаменника:

\frac{\frac{sin^{2} a}{cos^{2} a}}{\frac{sin^{2} a + cos^{2} a}{cos^{2} a}} = \frac{sin^{2} a}{sin^{2} a + cos^{2} a} = sin^{2} a

Таким чином, ми довели, що \frac{tga}{tga+ctga}=sin^{2} a.