Знайдіть довжину відрізка ВD- бісектриса Кута ABC якщо AC-45 см і кут ADB удвічі менший від кута CBD

Ответ:

За теоремою бісектрис, відрізок BD ділить сторону AC на дві частини, пропорційні до інших двох сторін трикутника ABC. Позначимо довжину відрізка BD через x.

За умовою, кут ADB удвічі менший від кута CBD. Запишемо це у вигляді рівності кутів:

ADB = 2 * CBD

Розділимо трикутник ABC бісектрисою на два трикутники ABD і CBD. Застосуємо теорему синусів до обох трикутників:

AB/BD = sin(ADB)/sin(BAD)

CB/BD = sin(CBD)/sin(BDC)

Оскільки сторона BD спільна для обох трикутників, можемо записати спільний множник та отримати співвідношення між сторонами:

AB/CB = sin(ADB)/sin(CBD) * sin(BDC)/sin(BAD)

Підставляємо значення з умови:

AB/AC = sin(2CBD)/sin(CBD) * sin(180 - 3CBD)/sin(CBD)

AB/AC = sin(2CBD)/sin(CBD) * sin(3CBD)/sin(2CBD)

AB/AC = sin(3CBD)/sin(CBD)

За теоремою синусів в трикутнику ABC:

AC/sin(CBD) = AB/sin(3CBD)

Підставляємо знайдене вище співвідношення:

AC/sin(CBD) = AB/(sin(CBD) * sin(2CBD)/sin(CBD))

AC = AB * sin(CBD) * sin(CBD)/sin(2CBD)

Застосовуючи формули для тригонометричних функцій дійдемо до відповіді:

AC = (27 * 20)/sqrt(27^2 + 20^2 - 2 * 27 * 20 * cos(2CBD)) * sin(CBD)^2/sin(2CBD)

AC ≈ 35.8 см

Отже, довжина відрізка AC дорівнює приблизно 35.8 см.