Четырёх угольники а БЦ Д диагональ перпендикулярно стороны а Б и Д Ц параллельно докажите что БЦ и ДА >=АВ•СД

Доказательство того, что BC и DA >= AB - SD, можно начать с построения диаграммы четырехугольника и обозначения заданной информации. Назовем четырехугольник ABCD, диагональ AC пересекает диагональ BD в точке O.Поскольку диагональ AC перпендикулярна сторонам AB и CD, мы знаем, что треугольники AOC и COD - правильные треугольники. Назовем длину диагонали AC d, длину отрезка BC x, а длину отрезка AD y.Используя теорему Пифагора, мы можем найти длины сторон треугольников AOC и COD:AC^2 = AO^2 + OC^2d^2 = (AB - x)^2 + BC^2AC^2 = CO^2 + OD^2d^2 = CD^2 + (AD - y)^2Упрощая эти уравнения, получаем:d^2 = AB^2 - 2ABx + x^2 + BC^2d^2 = CD^2 + AD^2 - 2ADy + y^2Складывая эти два уравнения вместе, получаем:2d^2 = AB^2 + CD^2 + BC^2 + AD^2 - 2ABx - 2ADy + x^2 + y^2Поскольку мы знаем, что BC перпендикулярна AC, а B и D параллельны, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы получить:x^2 + BC^2 = BD^2Подставив это в вышеприведенное уравнение, получим:2d^2 = AB^2 + CD^2 + AD^2 + BD^2 - 2ABx - 2ADyПереставляя члены, получаем:AB - SD = AB - (AD + BD) = AB - (d + x + y).Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем:2d^2 >= AB^2 + CD^2 + AD^2 + BD^2 - 2ABx - 2ADy + AB - SDУпрощая, получаем:2d^2 >= AB^2 + CD^2 + AD^2 + BD^2 - 2x(AB - AD) - 2y(AB - BD).Теперь нам нужно показать, что правая часть этого неравенства меньше или равна 2d^2. Для этого мы можем использовать тот факт, что B и D параллельны, поэтому треугольники ABD и BCD подобны. Следовательно, мы можем написать:AD/BC = AB/BDРешив для AD и BD, мы получим:AD = (AB)(BC)/BDBD = (AB)(BC)/ADПодставляя эти выражения в правую часть неравенства, получаем:AB^2 + CD^2 + AD^2 + BD^2 - 2x(AB - AD) - 2y(AB - BD) = AB^2 + CD^2 + (AB^2)(BC^2)/D^2 + (AB^2)(BC^2)/AD^2 - 2x(AB - (AB)(BC)/AD) - 2y(AB - (AB)(BC)/AD)Упрощая, получаем:AB^2 + CD^2 + (AB^2)(BC^2)/D^2 + (AB^2)(BC^2)/AD^2 - 2x(AB - (AB)(BC)/AD) - 2y(AB - (AB)(BC)/AD) = 2AB^2 + CD^2 + (AB^2)(BC^2)(1/D^2 + 1/AD^2) - 2AB(BC - x - y)Теперь мы можем подставить это выражение обратно в неравенство и упростить:2d^2 >= 2AB^2 + CD^2 + (AB^2)(BC^2)(1/D^2 + 1/AD^2) - 2AB(BC - x - y)2d^2 - 2AB(BC - x - y) >= AB^2 + CD^2 + (AB^2)(BC^2)(1/D^2 + 1/AD^2)2d^2 - 2AB(BC - x - y) >= AB^2 + CD^2 + (AB^2)(BC^2)(AD^2 + D^2)/(AD^2*D^2)2d^2 - 2AB(BC - x - y) >= AB^2 + CD^2 + AB^2(BC^2)(AD^2 + D^2)/(AD^2*D^2)Теперь мы можем воспользоваться тем, что AD^2 + D^2 >= 2AD*D и упростить:2d