Вычислить неопределенный интеграл 4dx/9+16x^2.

Для решения данного интеграла воспользуемся заменой переменной:Пусть u = 4x, тогда du/dx = 4, а dx = du/4.Подставляя u и dx в исходный интеграл, получим:∫4dx / (9 + 16x^2) = ∫du / (9 + u^2)Теперь мы можем вычислить интеграл функции f(u) = 1/(9 + u^2) методом замены переменной:Пусть u = 3tan(t), тогда du/dt = 3sec^2(t), а du = 3sec^2(t) dt.Подставляя u и du в интеграл, получим:∫du / (9 + u^2) = ∫3sec^2(t) dt / (9 + 9tan^2(t)) = ∫dt / 3Здесь мы использовали тригонометрическую тождественность: 1 + tan^2(t) = sec^2(t).Таким образом, окончательно получаем:∫4dx / (9 + 16x^2) = (1/3)∫dt = t/3 + CЗаменяя обратно переменную t на u и x, получим ответ:∫4dx / (9 + 16x^2) = (1/3)arctan(4x/3) + C