1)знайти похідну у(х)=x^2-4x/х+1 2)Знайти набільше значення фунції a) f(x)=x^3-6x^2+9x+3 на проміжку [0;2] b) f(x)=x^4/2-9x^2 на проміжку [-1;2]

Ответ:

Знайдемо похідну функції y(x):

y'(x) = [(x+1)(2x) - (x^2-4x)(1)] / (x+1)^2

y'(x) = (2x^2+2x - x^2+4x) / (x+1)^2

y'(x) = (x^2 + 6x) / (x+1)^2

a) Знайдемо точки екстремуму функції f(x):

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

f'(x) = 3(x-1)^2

f''(x) = 6(x-1)

Значення похідної f'(x) дорівнює 0 лише в точці x=1, тому це точка локального мінімуму.

Перевіримо крайні точки проміжку [0;2]:

f(0) = 3

f(2) = -1

Отже, найбільше значення функції f(x) на проміжку [0;2] дорівнює f(1) = 7.

b) Знайдемо точки екстремуму функції f(x):

f'(x) = 2x^3 - 18x

f'(x) = 2x(x^2 - 9)

f''(x) = 6x^2 - 18

Точки екстремуму розташовані в точках x=0, x=3, x=-3.

Перевіримо значення функції в крайніх точках проміжку [-1;2]:

f(-1) = 81/2

f(2) = -17

Значення функції в точці x=3 є мінімальним, але вона не належить проміжку [-1;2]. Значення функції в точці x=-3 є максимальним і дорівнює f(-3) = 27/2.

Отже, найбільше значення функції f(x) на проміжку [-1;2] дорівнює 27/2.