Спростіть вираз tg((9n/4) + tg(5n/2-a)) ^2 + (ctg(5n/4) +ctg(n-a))^2

Ответ:

Спочатку спростимо складники під функцією тангенса та котангенса:

tg(5n/2-a) = (tg(5n/2) - tg(a)) / (1 + tg(5n/2) * tg(a))

= (-ctg(a) - ctg(5n/2)) / (1 - ctg(a) * ctg(5n/2))

ctg(5n/4) = 1 / tg(5n/4) = 1 / (tg(9n/4 - 2n) = -tg(-2n) = tg(2n)

ctg(n-a) = ctg(a-n) = - ctg(n-a)

Підставляючи ці вирази, отримуємо:

tg((9n/4) + tg(5n/2-a)) ^2 + (ctg(5n/4) +ctg(n-a))^2

= [(tg(9n/4) - ctg(a) - ctg(5n/2)) / (1 - ctg(a) * ctg(5n/2))]^2

[tg(2n) - ctg(n-a)]^2

= [(2sin(9n/4) - cos(a)cos(5n/2) - sin(a)sin(5n/2)) / (cos(a)cos(5n/2) - sin(a)sin(5n/2))]^2

(sin(2n) + sin(n-a))^2

Тепер зведемо ці вирази до більш простого вигляду. Позначимо:

p = cos(a)cos(5n/2) - sin(a)sin(5n/2)

q = 2sin(9n/4) - cos(a)cos(5n/2) - sin(a)sin(5n/2)

r = sin(2n) + sin(n-a)

Тоді маємо:

tg((9n/4) + tg(5n/2-a)) ^2 + (ctg(5n/4) +ctg(n-a))^2

= (q/p)^2 + r^2

= (4q^2/p^2) + r^2 - (3q^2/p^2)

= (4q^2/p^2) + r^2 - [(q/p)^2 + 2r^2 + (r^2 - (q/p)^2)]

= 2(2q^2/p^2 - r^2)

Отже, функція має стандартний вигляд:

y = 2q^2/p^2 - r^2