знайти критичні точки функції f(x)=x^3/3-x^2-3x

Ответ:

Щоб знайти критичні точки функції, потрібно спочатку обчислити її похідну та прирівняти до нуля:

f(x) = x^3/3 - x^2 - 3x

f'(x) = x^2 - 2x - 3

Тепер треба знайти значення x, при яких похідна дорівнює нулю:

x^2 - 2x - 3 = 0

Застосовуючи формулу дискримінанту, отримаємо:

D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 16

x1 = (2 + √16)/2 = 3

x2 = (2 - √16)/2 = -1

Таким чином, критичні точки функції f(x) дорівнюють 3 та -1. Щоб з'ясувати, чи є ці точки максимумами або мінімумами, потрібно дослідити знаки другої похідної:

f''(x) = 2x - 2

f''(3) = 2(3) - 2 = 4 > 0, тому x = 3 є точкою локального мінімуму.

f''(-1) = 2(-1) - 2 = -4 < 0, тому x = -1 є точкою локального максимуму.

Отже, функція f(x) має локальний мінімум у точці x = 3 та локальний максимум у точці x = -1.