Сколько существует шестизначных телефонных номеров, начинающихся с цифры 3 и заканчивающихся цифрой 8, при условии, что все цифры номера различны? 

Первая цифра номера - 3. Последняя цифра номера - 8. Значит нам нужно выбрать 4 цифры из оставшихся 8 (поскольку первая и последняя цифры уже определены) и упорядочить их. Это можно сделать $C_8^4$ способами. Затем, каждая из выбранных 4 цифр может занимать одну из 4 позиций между первой и последней цифрами номера, так что общее количество шестизначных номеров будет:

$$ C_8^4 \times 4! = \frac{8!}{4!4!} \times 4! = 40320 $$

Таким образом, существует 40320 шестизначных телефонных номеров, начинающихся с цифры 3 и заканчивающихся цифрой 8, при условии, что все цифры номера различны.