Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если B5-B3=1200, a B5- В4=1000.

Ответ:

Пусть первый член геометрической прогрессии равен a, а знаменатель равен q.

Тогда пятый член геометрической прогрессии равен a * q^4.

Используя данные из условия, мы можем составить систему уравнений:

a * q^4 - a * q^2 = 1200

a * q^4 - a * q^3 = 1000

Вычитая второе уравнение из первого, получаем:

a * q^3 - a * q^2 = 200

Разделяя обе части на a, получаем:

q^3 - q^2 = 200 / a

q^2 * (q - 1) = 200 / a

Мы знаем, что сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна:

a + a * q + a * q^2 + a * q^3 + a * q^4 = a * (q^5 - 1) / (q - 1)

Мы также можем выразить q^2 через 200 / a и подставить это значение в формулу для суммы первых пяти членов:

a + a * q + a * (200 / a) * (q - 1)^(1/2) + a * (200 / a)^(3/2) * (q - 1) + a * (200 / a)^2 * (q - 1)^(5/2) = a * (q^5 - 1) / (q - 1)

Упрощая это уравнение, мы получаем:

a * (5 * q^2 + 10 * q - 6 * (200 / a)^(1/2) - 14 * (200 / a) - 14 * (200 / a)^(3/2)) = 0

Решая это уравнение относительно a, мы получаем два решения:

a = 14 * (200 / 3)^(1/2) или a = -10 * (200 / 3)^(1/2)

Поскольку первый член геометрической прогрессии должен быть положительным числом, мы выбираем положительное решение:

a = 14 * (200 / 3)^(1/2)

Теперь мы можем вычислить сумму первых пяти членов геометрической прогрессии:

a + a * q + a * q^2 + a * q^3 + a * q^4 = a * (q^5 - 1) / (q - 1) = 14 * (200 / 3)^(1/2) * (q^5 - 1) / (q - 1)Для вычисления q мы можем использовать одно из двух уравнений из системы уравнений, которую мы составили ранее. Мы выберем уравнение q^3 - q^2 = 200, так как оно проще для решения.

Приведем это уравнение к виду q^3 - q^2 - 200 = 0. Мы можем заметить, что q = 5 является корнем этого уравнения. Это можно проверить, подставив q = 5 в уравнение и убедившись, что оно выполняется.

Теперь мы можем разделить q^3 - q^2 - 200 на (q - 5), используя деление многочленов. Получим q^2 + 4q + 40 = 0.

Это квадратное уравнение имеет два комплексных корня: q = -2 + 6i и q = -2 - 6i. Мы ищем только положительные значения q, поэтому нас интересует только корень q = -2 + 6i.

Теперь мы можем найти первый член геометрической прогрессии a, используя любое из двух уравнений, которые мы записали ранее. Например, мы можем использовать уравнение B5 - B4 = a(q^4 - q^3). Подставляем известные значения: B5 = aq^4, B4 = aq^3 + 2000, q = -2 + 6i.

B5 - B4 = a(q^4 - q^3)

B5 - (B5 - 1000) = a((-2 + 6i)^4 - (-2 + 6i)^3)

1000 = a((-2 + 6i)^3((-2 + 6i) - 1))

1000 = a(56 - 56i)

a = 1000 / (56 - 56i) = 8 + 8i

Теперь мы можем найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, используя формулу S = a((q^n - 1) / (q - 1)), где n = 5.

S = a((q^n - 1) / (q - 1))

S = (8 + 8i)(((q^5 - 1) / (q - 1)))

S = (8 + 8i)(((254 - 48i) / (-3 + 9i)))

S = (8 + 8i)(-22 - 2i)

S = -224 - 176i

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна -224 - 176i.