При яких натуральних значеннях n значення виразу n4+n2+1 є простим числом?

Ответ:

Розпишемо вихідний вираз, виділивши повний квадрат: n^4+4 = (n^2+2)^2 - 4n^2 = (n^2+2)^2 - (2n)^2 = (n^2+2n +2)*(n^2-2n+2). Звідси видно, що для того, щоб n^4+4 було простою, повинна дотримуватися умова: n^2-2n+2 =1 => n^2-2n = -1 => n(n-2) = -1 = > n=1. Це єдине значення n. Тоді n4+4 = 5.

Відповідь: При n=1.

Ответ:

Объяснение:

Вираз можна переписати як (n^4 + 2n^2 + 1) - n^2. Це можна спростити до вигляду (n^2 + 1)^2 - n^2 = (n^2 + n + 1)(n^2 - n + 1).

Тому тепер треба знайти такі значення n, при яких або n^2 + n + 1, або n^2 - n + 1 є простими числами.

Якщо n = 1, то останні два доданки в обох випадках дорівнюватимуть 1, тобто n^2 + n + 1 = 3 та n^2 - n + 1 = 3, які є простими числами.

Якщо n > 1, то n^2 + n + 1 може бути простим, тільки коли n ≡ 1 (mod 3), оскільки якщо n ≡ 0 або n ≡ 2 (mod 3), то n^2 + n + 1 ділиться на 3.

Аналогічно, n^2 - n + 1 може бути простим, тільки коли n ≡ 1 (mod 2), оскільки якщо n ≡ 0 або n ≡ 2 (mod 2), то n^2 - n + 1 ділиться на 2.

Отже, значення n можуть бути такі: n = 1 або n ≡ 1 (mod 6).