У ΔАВС ∠С = 90°, ВD – бісектриса трикутника, ∠АВС = 60°. Знайти довжину катета АС, якщо СD= 7см.

Застосуємо теорему бісектрис, щоб знайти відстань BD:

BD = (AB * CD) / (AD + CD) = (AB * 7) / (AD + 7), де AB - довжина катету АВ, а AD - довжина катету АD.

Так як ∠АВС = 60°, то ∠AVB = 30° (так як В - середина гіпотенузи АС). Оскільки ∠ВDC = 90°, то ∠BDC = 90° - ∠BDV = 90° - 15° = 75°. Таким чином, ∠BDA = 75° - 30° = 45°.

Ми знаємо, що трикутник ABD є прямокутним, тому AD = AB * √3. Підставляємо це значення в формулу для BD і отримуємо:

BD = (AB * 7) / (AB * √3 + 7)

BD можна також виразити за допомогою тангенса кута BDA:

tan(45°) = BD / AB

BD = AB * tan(45°) = AB

Звідси маємо AB = BD = 7 / (1 / √3 + 1) ≈ 4.86 см.

Так як ∠АВС = 60°, то АС = 2 * AB = 2 * 4.86 ≈ 9.72 см. Тому, довжина катета АС дорівнює близько 9.72 см.