Знайдіть перший член та знаменник геометричної прогресії (bn), якщо b2×b4=18 i b3+b5=4

Ответ:Для розв'язання задачі використаємо властивості геометричної прогресії:

1) b2 × b4 = b32 - це формула для знаходження середнього члена геометричної прогресії за двома його сусідніми членами.

2) b3 + b5 = b3 × (1 + r2) - формула для знаходження суми двох членів, що мають однакову парність числа індексів.

Отже, маємо рівняння:

b2 × b4 = 18   (1)

b3 × (1 + r2) = 4   (2)

Домножимо (2) на r2 та поділимо на (1):

b3 × r2 × (1 + r2) / 18 = 4 / 18

b3 × r2 × (1 + r2) = 2   (3)

Розкриємо дужки в (3) та перенесемо все в ліву сторону:

b3 × r4 + b3 - 2 = 0

Застосуємо квадратне рівняння до r2:

r2 = (-b3 ± √(b32 + 8)) / 2

Звернімо увагу, що r ≠ 0, бо в іншому випадку геометрична прогресія буде арифметичною (якщо перший її член не дорівнює 0). Окремо розглянемо випадок r = -b3, що виходить з другого кореня рівняння. В цьому випадку з (2) маємо:

b3 + b5 = 0

Але це не може бути: якщо b3 = 0, то з (2) отримуємо b5 = 0, або ж з (1) маємо b4 = 0 - в будь-якому випадку геометрична прогресія не є коректно заданою.

Повертаємось до першого кореня:

r2 = (-b3 + √(b32 + 8)) / 2

Тоді б2 можна знайти за формулою (1):

b2 = b3 / r

b2 = b3 × 2 / (-b3 + √(b32 + 8))

Отже, знайшли перший член та знаменник геометричної прогресії:

b2 = b3 × 2 / (-b3 + √(b32 + 8))

r = (-b3 + √(b32 + 8)) / 2

Для повноти можна перевірити, що всі інші члени прогресії також задовольняють вихідні властивості.

Объяснение: