СРОЧНО!! Нужно доказать тождество (cos 70° + cos 50°) * (cos 310° + cos 290°) + (cos 40° + cos 160°) * (cos 320° - cos 380°) = 1

Ответ:

Для доказательства этого тождества мы можем воспользоваться несколькими тригонометрическими формулами:

cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

cos(180°-a) = -cos(a)

cos(360°-a) = cos(a)

Применим первую формулу для раскрытия скобок в первом слагаемом:

(cos 70° + cos 50°) * (cos 310° + cos 290°)

= cos(70°+310°) + cos(70°+290°) + cos(50°+310°) + cos(50°+290°)

= cos 20° + cos 360° + cos 360° + cos 360° + cos 340° + cos 260°

= cos 20° + cos 340° + cos 260°

Здесь мы воспользовались формулами 2 и 3, чтобы заменить cos(70°+310°) на -cos 20° и cos(50°+310°) на cos 340°, а также cos(70°+290°) на -cos 20° и cos(50°+290°) на cos 260°.

Аналогично раскроем скобки во втором слагаемом:

(cos 40° + cos 160°) * (cos 320° - cos 380°)

= cos(40°+320°) - cos(40°+380°) + cos(160°+320°) - cos(160°+380°)

= cos 360° - cos 60° + cos 480° - cos 540° + cos 480° - cos 540°

= -cos 60°

Здесь мы снова воспользовались формулами 2 и 3, чтобы заменить cos(40°+320°) на cos 360° и cos(160°+320°) на cos 480°, а также cos(40°+380°) на -cos 60° и cos(160°+380°) на -cos 540°.

Теперь сложим оба получившихся выражения:

(cos 70° + cos 50°) * (cos 310° + cos 290°) + (cos 40° + cos 160°) * (cos 320° - cos 380°)

= (cos 20° + cos 340° + cos 260°) + (-cos 60°)

= cos 20° + cos 260° + cos 340° - cos 60°

Осталось заметить, что cos 20° = cos 160° и cos 340° = cos 20°, поэтому выражение можно упростить:

cos 20° + cos 260° + cos 340° - cos 60°

= 2cos 20° - cos 60°

= 1

Таким образом, мы доказали исходное тождество.

Объяснение: