при каких значениях a имеет решение уравнение 1) 2cosx/3 + cos7x=a2-6a+122)sin²x+2asinx+2а²-4a+4=0​

Решим уравнение 2cosx/3 + cos7x=a2-6a+12 относительно x.Для начала заметим, что правая часть a2-6a+12 может быть представлена в виде суммы квадратов трехчленов, поэтому попробуем применить формулу косинусов суммы:2cosx/3 + cos7x = 2cos(4x/3 + 3x) = 2cos(4x/3)cos(3x) - 2sin(4x/3)sin(3x) == 2(cos^2(4x/3) - sin^2(4x/3))cos(3x) - 4/3 sin(4x/3)cos(4x/3)sin(3x) == (2cos^2(4x/3) - 1)cos(3x) - 4/3 sin(4x/3)cos(4x/3)sin(3x)Заметим также, что выражение справа - это квадратное уравнение относительно a. Решим его и подставим полученные значения в уравнение выше:a2-6a+12 = (a-3)2 + 3Теперь мы можем решить уравнение относительно x:2cos^2(4x/3)cos(3x) - cos(3x) - 4/3 sin(4x/3)cos(4x/3)sin(3x) = a2-6a+9Заметим, что если a < 3, то правая часть отрицательна, а значит уравнение не имеет решений. Если a = 3, то правая часть равна 3, а значит нам нужно решить уравнение:2cos^2(4x/3)cos(3x) - cos(3x) - 4/3 sin(4x/3)cos(4x/3)sin(3x) = 3Если же a > 3, то правая часть положительна, а значит у нас есть шанс на решение уравнения.Решим уравнение sin²x+2asinx+2а²-4a+4=0 относительно x.Решим квадратное уравнение относительно sinx:sinx = -a ± sqrt(a² - 2a² + 2a - 1)sinx = -a ± sqrt(-a² + 2a - 1)Так как sinx лежит в диапазоне [-1, 1], то нужно найти значения параметра a, при которых корни уравнения лежат в этом диапазоне.-1 ≤ -a + sqrt(-a² + 2a - 1) ≤ 1-2a + 1 ≤ sqrt(-a² + 2a - 1) ≤ 2a +

Ответ:

Объяснение:

1) Рассмотрим уравнение 2cosx/3 + cos7x = a^2 - 6a + 12.

Для того чтобы определить при каких значениях a уравнение имеет решение, нужно найти диапазон значений правой части уравнения.

Максимальное значение cosx равно 1, а минимальное -1. Максимальное значение cos7x равно 1, а минимальное -1.

Тогда максимальное значение левой части равно 2/3 + 1 = 5/3, а минимальное значение равно 2/3 - 1 = -1/3.

Таким образом, диапазон значений левой части уравнения: -1/3 ≤ 2cosx/3 + cos7x ≤ 5/3.

Для того чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы a^2 - 6a + 12 находилось в пределах этого диапазона:

-1/3 ≤ a^2 - 6a + 12 ≤ 5/3.

Преобразуем неравенство, чтобы выразить a:

a^2 - 6a + 12 - 5/3 ≤ 0

a^2 - 6a + 31/3 ≥ 0

Дискриминант этого квадратного уравнения равен:

D = 36 - 4 * (31/3) = 4/3

Так как D > 0, то это квадратное уравнение имеет два корня.

Таким образом, уравнение 2cosx/3 + cos7x = a^2 - 6a + 12 имеет решение при значениях a, удовлетворяющих неравенству:

a ∈ (-∞, 3 - √(7/3)] ∪ [3 + √(7/3), +∞).

2) Рассмотрим уравнение sin^2x + 2asinx + 2a^2 - 4a + 4 = 0.

Это квадратное уравнение относительно sinx, поэтому нужно найти дискриминант этого уравнения, чтобы определить, при каких значениях a уравнение имеет решение.

D = (2a)^2 - 4 * 1 * (2a^2 - 4a + 4) = 4a^2 - 8a + 16 - 8a^2 + 16a - 16 = -4a^2 + 8a

Так как D = -4a^2 + 8a, то D < 0, когда -4a^2 + 8a < 0.

Решив это неравенство, получим:

a ∈ (0, 2)

Таким образом, уравнение sin^2x + 2asinx + 2a^2 - 4a + 4 = 0 имеет решение при значениях a, удовлетворяющих неравенству:

a ∈ (0, 2).