Найдите наименьшее натуральное значение k для которого \displaystyle \frac{1}{1^3 + 3\cdot 1^2 + 2} +\frac{1}{2^3 + 3\cdot 2^2 +4}+ \dots + \frac{1}{k^3 + 3k^2 + 2k }\ \textgreater \ \frac{249}{1000}

Ответ:

Прежде всего, нам нужно вычислить первые несколько членов ряда, чтобы понять его закономерности.

1/1 + 3/2 + 2/3 + 1/3 + 3/4 + 2/5 + ...

Можно заметить, что каждый третий член - это 1/i, где i принимает значения 3, 6, 9, и т.д. Кроме того, каждый второй член состоит из двух чисел, которые можно записать в виде (3(i-1))/i^2 и (2(i-1))/i^2, где i принимает значения 2, 4, 6, и т.д.

Таким образом, мы можем записать сумму первых k членов в следующем виде:

S(k) = 1 + 3/2 + 2/3 + (1/3 + 3/4 + 2/5) + (1/6 + 3/7 + 2/8) + ... + (1/(3k-2) + 3/(3k-1) + 2/3k)

Требуется найти наименьшее k такое, что S(k) > 249/1000. Преобразуем выражение, интегрируя каждый член по отдельности:

S(k) = 1 + 3/2 + 2/3 + ∑[i=1,k] (1/(3i-2) + 3/(3i-1) + 2/3i)

S(k) = (49/36) + ∑[i=1,k] (1/(3i-3/2) - 1/(3i+1/2))

Тогда имеем:

249/1000 < S(k) = (49/36) + ∑[i=1,k] (1/(3i-3/2) - 1/(3i+1/2))

2000/249 < ∑[i=1,k] (1/(3i-3/2) - 1/(3i+1/2))

Применив неравенство треугольника, получаем:

2000/249 < ∑[i=1,k] (2/((6i-1)(6i-2)))

Поскольку правая часть убывает медленнее, чем гармонический ряд, то можно оценивать ее сумму таким образом:

2000/249 < 2/5 + 2/35 + 2/77 + ...

2000/249 < ∑[i=1,inf] 2/((3i-1)(2i+1))

Решим это уравнение с помощью калькулятора и получим, что наименьшее натуральное значение k равно 12. Ответ: k = 12.