доказать что 9a+1/a≥6 при a >0

Для доведення нерівності 9a + 1/a ≥ 6 при a > 0 скористаємося методом доповнення квадрату.

1. Перетворимо ліву частину нерівності:

9a + 1/a = 8a + a + 1/a = 8a + (a + 1/a)

2. Застосуємо нерівність між середніми:

a + 1/a ≥ 2

3. Підставимо отриману нерівність в попереднє рівняння:

8a + (a + 1/a) ≥ 8a + 2

4. Скоротимо:

8a + 2 ≥ 6

5. Перенесемо 2 на іншу сторону:

8a ≥ 4

6. Розділимо на 8:

a ≥ 1/2

Отже, ми довели, що 9a + 1/a ≥ 6 при a > 0, якщо a ≥ 1/2.