ДАЮ 25 БАЛЛОВ Прямі АВ і АС дотикаються до кола з центром о в точках В і С. Знайдіть радіус кола, якщо < ВОС = 120° AO = 30 см

Оскільки прямі АВ і АС дотикаються до кола, то точки В і С лежать на колі. Звідси < AOC = 2 < BAC (оскільки кут, опираючись на дугу, дорівнює удвічі кута, що опирається на цю ж дугу). Також за теоремою про касательні та дотичні, < ABC = 90°.

Розглянемо трикутник AOC. Оскільки < BAC = 60° (оскільки трикутник ABO є рівностороннім), а < AOC = 2 < BAC = 120°, то < ACO = (180° - 60° - 120°)/2 = 0°. Це означає, що пряма AO є висотою трикутника AOC і перпендикулярна до СО.

Далі, з теореми Піфагора для трикутника AOC:

AC^2 = AO^2 + OC^2

Оскільки ОС = ОВ (радіус кола), то ОС = AC/2, оскільки пряма, що йде від центра кола до середини дуги, є перпендикуляром до цієї дуги. Також маємо AO = 30 см.

Звідси:

AC^2 = AO^2 + OC^2

(2OC)^2 = 30^2 + OC^2

4OC^2 = 900 + OC^2

3OC^2 = 900

OC^2 = 300

Отже, ОС = AC/2 = √300/2 = (10√3)/2 ≈ 8.66 см. Таким чином, радіус кола дорівнює близько 8.66 см.