Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.
Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, <, ≤,
Интервал — это некий промежуток числовой прямой, то есть все возможные числа, заключенные между двумя числами — концами интервала. Представить эти промежутки не так просто, поэтому интервалы принято рисовать.
Алгоритм решения квадратных неравенств методом интервалов:
Найти нули квадратного трехчлена ax2 + bx + c из левой части квадратного неравенства.
Изобразить координатную прямую и при наличии корней отметить их на ней
Если неравенство строгое, нужно отметить корни пустыми (выколотыми) точками. Если нестрогое — обычными точками. Именно эти точки разбивают координатную ось на промежутки
Определить, какие знаки имеют значения трехчлена на каждом промежутке (если на первом шаге нашли нули) или на всей числовой прямой (если нулей нет). И проставить над этими промежутками + или − в соответствии с определенными знаками.
Если квадратное неравенство со знаком > или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.
Если неравенство со знаком < или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −.
В результате получаем геометрический образ некоторого числового множества — это и есть решение неравенства.
Либо вместо штриховки можно нарисовать «арки» для интервалов. Справа налево, начиная с +, проставить чередуя знаки + и −.
Определить, какие знаки имеют значения трехчлена на каждом промежутке (если на первом шаге нашли нули) или на всей числовой прямой (если нулей нет). И проставить над этими промежутками + или − в соответствии с определенными знаками.
Если квадратное неравенство со знаком > или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.
Если неравенство со знаком < или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −.
В результате получаем геометрический образ некоторого числового множества — это и есть решение неравенства.
Либо вместо штриховки можно нарисовать «арки» для интервалов. Справа налево, начиная с +, проставить чередуя знаки + и −.
Пример 1. Решить неравенство методом интервалов: x^2 - 5x + 6 ≥ 0.
Как решаем:
Приравняем квадратный трехчлен к 0 и найдем нули:
x2 - 5x + 6 = 0
(x - 3) (x -2) = 0
x - 3 = 0
x - 2 = 0
x = 3
x=2
Ответ: х ≤ 2, х ≥ 3.
Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3 < 0.
Как решить неравенство методом интервалов, нам уже известно. Поэтому можем оформить решение кратко:
Ответ: -3 < x < -2.
Пример 3. Выполнить решение квадратного неравенства методом интервалов:
Как решаем:
Находим корни квадратного трехчлена, который находится в левой части:
Так как мы решаем строгое неравенство, то на координатной прямой изображаем выколотую точку с координатой 7:
Теперь определим знаки на двух полученных промежутках (−∞, 7) и (7, +∞).
Это легко сделать, потому что дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, а старший коэффициент со знаком минус. Фиксируем знаки: −, −:
Так как мы решаем неравенство со знаком <, то изобразим штриховку над интервалами со знаками минус:
Очевидно, решениями являются оба промежутка (−∞, 7), (7, +∞).
Ответ: (−∞, 7), (7, +∞)
Автор:
TTLoДобавить свой ответ
Предмет:
ЛитератураАвтор:
messiahОтветов:
Смотреть
Предмет:
МатематикаАвтор:
emilia52Ответов:
Смотреть
Предмет:
БиологияАвтор:
frostyr6swОтветов:
Смотреть