Развязать подробно уравнение, БЕЗ Photomath: sin(30°+x)-sin(x+210°)=2sin495°

Начнем с преобразования углов:

sin(30°+x) = sin(30°)cos(x) + cos(30°)sin(x) = (1/2)cos(x) + (sqrt(3)/2)sin(x)

sin(x+210°) = sin(210°)cos(x) + cos(210°)sin(x) = (-sqrt(3)/2)cos(x) + (1/2)sin(x)

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

(1/2)cos(x) + (sqrt(3)/2)sin(x) - (-sqrt(3)/2)cos(x) - (1/2)sin(x) = 2sin495°

Упростим выражение, используя тригонометрические формулы:

(cos(x) + sin(x))/2 = 2sin495°

cos(x) + sin(x) = 4sin495°

Теперь выразим sin(x) через cos(x), используя тригонометрическую формулу sin²(x) + cos²(x) = 1:

sin(x) = sqrt(1 - cos²(x))

Подставим это выражение в предыдущее уравнение:

cos(x) + sqrt(1 - cos²(x)) = 4sin495°

Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

cos²(x) + 2cos(x)sqrt(1 - cos²(x)) + (1 - cos²(x)) = 16sin²495°

Переносим все слагаемые с cos(x) в одну сторону и возводим обе части в квадрат еще раз:

cos⁴(x) - 14cos²(x) + 1 = 256sin⁴495°

Заметим, что sin495° = -sin15° и cos495° = -cos15°. Подставим это в выражение и заменим cos²(15°) на 1 - sin²(15°):

cos⁴(x) - 14cos²(x) + 1 = 256sin⁴15°

1 - 14cos²(x) + cos⁴(x) = 256(1 - cos²(15°))²

cos⁴(x) - 14cos²(x) + cos²(15°) = 0

Решаем полученное квадратное уравнение относительно cos²(x):

cos²(x) = (14 ± sqrt(184))/2 = 7 ± sqrt(46)

Так как -1 ≤ cos(x) ≤ 1, то:

cos(x) = sqrt(7 - sqrt(46)) или cos(x) = -sqrt(7 + sqrt(46))

Теперь найдем соответствующее значение sin(x) для каждого из этих значений cos(x), используя формулу sin²(x) + cos²(x) = 1:

sin(x) = sqrt(1 - cos²(x))

sin(x) = sqrt(1 - 7 + sqrt(46)) = sqrt(sqrt(46) - 6)

или

sin(x) = sqrt(1 - 7 - sqrt(46)) = -sqrt(sqrt(46) + 6)

Таким образом, уравнение имеет два решения:

x₁ = arcsin(sqrt(sqrt(46) - 6)) - 30° + 360°k, где k - любое целое число

x₂ = -arcsin(sqrt(sqrt(46) + 6)) + 150° + 360°k, где k - любое целое число

Так как арксинус имеет значения только в интервале от -90° до 90°, то:

x₁ принадлежит интервалу от -60° до 60°

x₂ принадлежит интервалу от 120° до 240°

Таким образом, решениями уравнения являются углы x₁ и x₂, определенные выше с учетом периодичности тригонометрических функций.