sin2x + cos6x = 0 решить уровнение​

Ответ: x = nπ, x = (π/12) + (nπ/3), x = nπ, x = (4n+1)π/24 или x = (4n+3)π/24, где n - целое число.

Объяснение:

sin2x + cos6x = 0

2sinx cosx + (cos^2 3x - sin^2 3x) = 0

2sinx cosx + cos^2 3x - sin^2 3x = 0

2sinx cosx + (cos 3x + sin 3x)(cos 3x - sin 3x) = 0

2sinx cosx + (cos 3x + sin 3x)(cos 3x + sin 3x - 2sin 3x) = 0

Таким образом, мы получили квадратное уравнение относительно sin x и cos x. Решая его, мы получаем два набора решений:

sin x = 0, cos 3x + sin 3x - 2sin 3x = 0

sin x = 0 означает, что x = nπ, где n - целое число.

cos 3x + sin 3x - 2sin 3x = 0

cos 3x - sin 3x = cos(π/4 - 3x)

Таким образом, уравнение сводится к cos(π/4 - 3x) = 0, что дает нам еще одно решение: x = (π/12) + (nπ/3).

cos 3x + sin 3x - 2sin 3x = 0, sin x ≠ 0

Это уравнение эквивалентно уравнению

cos 3x = sin 3x

Так как sin^2 3x + cos^2 3x = 1, то справедливо

sin^2 3x + sin^2 (π/2 - 3x) = 1

2sin^2 3x = 1

sin 3x = ±1/√2

Отсюда следует, что 3x = (4n+1)π/8 или 3x = (4n+3)π/8, где n - целое число. Таким образом, решениями уравнения являются:

x = nπ или x = (4n+1)π/24 или x = (4n+3)π/24, где n - целое число.