Доказать, что если { x_n } и { y_n } - ограниченные последовательности , то ограничены и последовательности a) { x_n*y_n } b) { ax_n+by_n }

Считается, что $x_n$ ограничена тогда и только тогда, когда она ограничена как сверху, так и снизу

Контрпример:

Пусть $x_n=(-1)^n\left (1-\frac{1}{n} \right ), \; y_n=(-1)^{3n}+2$

Тогда $x_n$ сходится к $1$ и $y_n$ будет ограничено сверху в $3$ и снизу в $1$

Следовательно, $x_ny_n$ создаст последовательность: $0,\frac{3}{2},-\frac{2}{3},\frac{9}{4}...$, которая не сходится, но ограничена

Во втором случае всё тоже самое и можно взять теже последовательности$ax_n=a(-1)^n\left (1-\frac{1}{n} \right ), \; by_n=b(-1)^{3n}+2$ и получить последовательность, которая не сходится, но ограничена

$b, \frac{a+6b}{2}, -\frac{2a+b}{3},\frac{3a+2b}{4}, \ldots$