Доведіть, що значення виразу 1000² +1000²*1001² +1001² є квадратом натурального числа.

Ответ:

Для доведения, что данное выражение является квадратом натурального числа, давайте раскроем скобки и упростим выражение:

Выражение: 1000² + 1000² * 1001² + 1001²

Раскроем скобку (1000² * 1001²):

1000² * 1001² = (1000 * 1001)² = 1001000²

Теперь заменим эту часть в исходном выражении:

1000² + 1000² * 1001² + 1001² = 1000² + 1001000² + 1001²

Теперь объединим первый и последний квадраты:

1000² + 1001000² + 1001² = (1000 + 1001)² = 2001²

Таким образом, мы получили, что исходное выражение равно квадрату числа 2001, которое является натуральным числом. Следовательно, значение данного выражения действительно является квадратом натурального числа.

1000^2+1000^2\cdot 1001^2+1001^2=1000^2+1000^2\cdot (1000+1)^2+(1000+1)^2=\\=1000^2+1000^2\left ( 1000^2+2\cdot 1000+1 \right )+\left ( 1000^2+2\cdot 1000+1 \right )=\\=1000^2+1000^4+2\cdot 1000^3+1000^2+1000^2+2\cdot 1000+1=\\=1000^4+ 2\cdot 1000^3+3\cdot 1000^2+2\cdot 1000+1=\left ( 1000^2+1000+1 \right )^2