Решите неравенство (x-5)(2x+3)/(x+6) >=0

Ответ: х∈ (-6;-1.5]U[5;+∞)

Объяснение:

Решим неравенство методом интервалов.

Приравняем х-5, 2х+3 и х+6   к 0

х-5=0  => х=5   2х+3=0 =>x=-1.5   x+6=0=> x=-6

Отметим полученные корни на координатной прямой. Так как  неравенство нестрогое, то корни х=5 и х=-1.5  закрашиваем- такие значения х возможны, но так как х+6 знаменатель, который не может быть равен 0, то точку х=-6 не закрашиваем

       __                     +                           __                            +

___________O__________I________________I____________> x

                     -6                      -1.5                               5

Подставим в левую часть неравенства любое число из интервала

х∈(5; +∞) Например х=10

(10-5)(2*10+3)/(10+6)>0

Значит в этом интервале ставим +

Так как у нас все полученные корни получены при решении ЛИНЕЙНЫХ уравнений, то вся координатная прямая разбивается на знакопеременные интервалы , т.е.

Если х ∈(-1.5; 5), то значение всего выражения <0

Если х ∈(-6; -1.5), то значение всего выражения >0

Если х ∈(-∞; -6), то значение всего выражения <0

Так как в неравенстве знак  больше или равно, то нужны такие интервалы, в которых выражение  больше или равно 0.

Ответ :  х∈ (-6;-1.5]U[5;+∞)

Граница интервала х=-6 в область решения не входит, так как знаменатель не   равен 0. (х=-6 не входит в ОДЗ выражения)

Граница интервала х=5 в область решения  входит, так как неравенство не строгое и  х=5  входит в ОДЗ выражения.