В районних олімпіадах з математики, фізики та хімії стали призерами 45 учнів ліцею. Відомо, що призерів з математики – 26, фізики – 20, хімії – 15. Серед них призерами двох олімпіад стали 6 учнів. Скільки учнів стали призерами всіх трьох олімпіад?

Відповідь:

П'ять учнів стали призерами всіх трьох олімпіад.

Пояснення:

Серед 45 учнів є:

1) учні, що приймали участь лише у одній олімпіаді ( позначимо їх кількість як n1 );

2) учні, що приймали участь у двох олімпіадах ( позначимо їх кількість як n2 );

3) учні, що приймали участь у трьох олімпіадах ( позначимо їх кількість як n3 ).

Маємо:

n1 + n2 + n3 = 45 ( 1 )

Загальна кількість призерів дорівнює:

26 + 20 + 15 = 61. Серед них є:

1) призери, що приймали участь лише у одній олімпіаді ( рахується як один учасник );

2) призери, що приймали участь у двох олімпіадах ( рахується як два учасника );

3) призери, що приймали участь у трьох олімпіадах ( рахується як три учасника ).

Маємо:

1 × n1 + 2 × n2 + 3 × n3 = 61 ( 2 )

Відомо, що n2 = 6. Підставимо ці данні до рівняннь ( 1 ) та ( 2 ):

1) n1 + 6 + n3 = 45

n1 + n3 = 45 - 6

n1 + n3 = 39 ( 3 )

2) n1 + 2 × 6 + 3n3 = 61

n1 + 12 + 3n3 = 61

n1 + 3n3 = 61 - 12

n1 + 3n3 = 49 ( 4 )

Віднімемо від рівняння ( 4 ) рівняння ( 3 ):

n1 + 3n3 = 49

-

n1 + n3 = 39

------------------

2n3 = 10

n3 = 10 / 2

n3 = 5

Перевірка:

1) П'ять учнів стали призерами всіх трьох олімпіад n3 = 5.

Призерами двох олімпіад стали 6 учнів n2 = 6

У одній з олімпіад призерами стали 45 - 6 - 5 = 34 учні n1 = 34.

2) Підставимо ці данні до рівняння ( 2 ):

1 × 34 + 2 × 6 + 3 × 5 = 61

34 + 12 + 15 = 61

61 = 61

Все вірно.